Question

3．奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增，且f（-2）=0，則不等式 $\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0的解集為（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（0，2）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，又f（-2）=0，
∴f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，且f（2）=-f（-2）=0，
∴當x＞2或-2＜x＜0時，f（x）＞0，當x＜-2或0＜x＜2時，f（x）＜0，
作出f（x）的草圖，如圖所示：
則不等式 $\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0等價為$\frac{2f（x）}{x}$＜0：
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜x＜2或-2＜x＜0，
∴xf（x）＜0的解集為：（-2，0）∪（0，2），
故選：B

點評 本題主要考查不等式的解集，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．