Question

計(jì)算(

3

+tan1°)(

3

+tan2°)…(

3

+tan29°)=

2²⁹

．

Answer 1

分析：由1°+29°=30°，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)系式，整理得到

3

（tan1°+tan29°）=1-tan1°tan29°，然后將所求式子的第一項(xiàng)與最后一項(xiàng)，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)，…，第14項(xiàng)與第16項(xiàng)結(jié)合，同理將整理的式子及tan15°的值代入，抵消合并后即可得到結(jié)果．

解答：解：由tan（1°+29°）=tan30°=

tan1°+tan29°

1-tan1°tan29°

=

3

3

，得到

3

（tan1°+tan29°）=1-tan1°tan29°，
同理得到

3

（tan2°+tan28°）=1-tan2°tan28°，…，

3

（tan14°+tan16°）=1-tan14°tan16°，
又tan15°=tan（45°-30°）=

1- 3 3

1+ 3 3

=2-

3

，
∴原式=[（

3

+tan1°）（

3

+tan29°）][（

3

+tan2°）（

3

+tan28°）][（

3

+tan3°）（

3

+tan27°）]…（

3

+tan15°）=[3+

3

（tan1°+tan29°）+tan1°tan29°][3+

3

（tan2°+tan28°）+tan2°tan28°]…（

3

+tan15°）=4¹⁴×2=2²⁹．
故答案為：2²⁹

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，將所求式子括號中的角之和為30°的兩項(xiàng)結(jié)合是解本題的關(guān)鍵．