Question

15．已知x＞0，y＞0，2x+y=1，若4x²+y²+$\sqrt{xy}$-m＜0恒成立，則m的取值范圍是$m＞\frac{17}{16}$．

Answer 1

分析 4x²+y²+$\sqrt{xy}$-m＜0恒成立，即m＞4x²+y²+$\sqrt{xy}$恒成立，求出4x²+y²+$\sqrt{xy}$的最大值，即可求得m的取值范圍．

解答 解：4x²+y²+$\sqrt{xy}$-m＜0恒成立，即m＞4x²+y²+$\sqrt{xy}$恒成立，
∵x＞0，y＞0，2x+y=1，
∴1≥2$\sqrt{2xy}$，
∴0＜$\sqrt{xy}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$
∵4x²+y²+$\sqrt{xy}$=（2x+y）²-4xy+$\sqrt{xy}$=1-4xy+$\sqrt{xy}$=-4（$\sqrt{xy}$-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{17}{16}$，
∴4x²+y²+$\sqrt{xy}$的最大值為$\frac{17}{16}$，
∴$m＞\frac{17}{16}$．
故答案為：$m＞\frac{17}{16}$．

點評 本題考查不等式恒成立問題，考察基本不等式的運用，正確轉化是關鍵．