Question

已知集合A={x|x²+4x=0}，集合B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}，其中x∈R.

（1）若A∩B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若A∪B=B，求實(shí)數(shù)a的值.

Answer 1

思路解析：本題體現(xiàn)了分類討論思想，要注意空集這一特殊集合.

解：（1）易知A={0，-4}，又A∩B=B，即AB.∴B=或{0}或{-4}或{0，-4}.當(dāng)B=時(shí)，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0無實(shí)數(shù)解，∴Δ=4（a+1）²-4（a²-1）＜0.解得a＜-1.當(dāng)B={0}或{-4}時(shí)，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，∴Δ=4（a+1）²-4（a²-1）=0,得a=-1，此時(shí)B={0}，滿足題意.當(dāng)B={-4，0}時(shí)，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根-4，0，則-2（a+1）=-4+0且a²-1=0，解得a=1，此時(shí)B={x|x²+4x=0}={-4，0}，滿足題意.綜合以上可知a≤-1或a=1.

（2）由已知得A={0，-4}.又A∪B=B，即AB.又∵B為二次方程解集，其中最多有2個(gè)元素，∴B={0，-4}，即方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有兩根為0和-4.由韋達(dá)定理知

解得∴a=1.

因此，若A∪B=B，則a=1.