Question

在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a₁,a₂,a₃,…,a_n,使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b₁,b₂,b₃,…,b_n,使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記A_n=a₁a₂a₃…a_n,B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n.

(1)求數(shù)列{A_n}和{B_n}的通項(xiàng);

(2)當(dāng)n≥7時(shí),比較A_n與B_n的大小,并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解：(1)∵1,a₁,a₂,a₃,…,a_n,2成等比數(shù)列,

∴a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…=a_ka_n-k+1=…=1×2=2.

∴A_n²=(a₁a_n)(a₂a_n-1)(a₃a_n-2)…(a_n-1a₂)(a_na₁)=(1×2)ⁿ=2ⁿ.

∴A_n=.

∵1,b₁,b₂,b₃,…,b_n,2成等差數(shù)列,

∴b₁+b_n=1+2=3.

∴B_n=·n=n.

∴數(shù)列{A_n}的通項(xiàng)A_n=,數(shù)列{B_n}的通項(xiàng)B_n=n.

(2)∵A_n=,B_n=n,

∴A_n²=2ⁿ,B_n²=.

要比較A_n與B_n的大小,只需比較A_n²與B_n²的大小,也即比較當(dāng)n≥7時(shí),2ⁿ與的大小.

當(dāng)n=7時(shí),2ⁿ=128,×49,得知2ⁿ＞n².經(jīng)驗(yàn)證,n=8,n=9時(shí)均有命題2ⁿ＞n²成立.猜想當(dāng)n≥7時(shí),有2ⁿ＞n²,用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=7時(shí),2⁷=128＞×7²=,即不等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,即2^k＞k².

當(dāng)n=k+1時(shí),2^k+1=2·2^k＞2×k²=k²+k².

又∵當(dāng)k≥7時(shí),k²＞2k+1,

∴2^k+1＞k²+(2k+1)=k²+k+=(k+1)²,

即n=k+1時(shí),2^k+1＞(k+1)²成立.

由①②知,對(duì)n≥7,n∈N^*時(shí),2ⁿ＞n².