Question

F是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點(diǎn)，A（1，1）為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P為橢圓上一動點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值為

4-

5

．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F'，連接PF'、AF'，根據(jù)橢圓的定義得|PA|+|PF|=4+（|PA|-|PF'|），結(jié)合圖形可得當(dāng)P、A、F'三點(diǎn)共線，且P在F'A延長線上時，|PA|-|PF'|取得最小值，利用兩點(diǎn)之間距離公式，則不難求出這個最小值．

解答：解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F'，連接PF'、AF'
∵點(diǎn)P在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上運(yùn)動，
∴|PF|+|PF'|=2a=4
由此可得|PA|+|PF|=|PA|+（4-|PF'|）=4+（|PA|-|PF'|）
當(dāng)P、A、F'三點(diǎn)共線，且P在F'A延長線上時，|PA|-|PF'|取得最小值
∴|PA|-|PF'|的最小值為：-|AF'|=

(1+1)2+(1-0)2

=-

5

由此可得|PA|+|PF|的最大值為4-

5

故答案為：4-

5

點(diǎn)評：本題給出橢圓內(nèi)部一點(diǎn)A和橢圓上動點(diǎn)P，求距離之和的最小值，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．