Question

19．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且f（-3）=0，當x＞0時，有f（x）-xf′（x）＞0成立，則不等式f（x）＞0的解集是（　�。�

• A． （-∞，-3）∪（0，3）
• B． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• C． （-3，0）∪（0，3）
• D． （-3，0）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求函數的導數，以及函數的單調性，結合函數奇偶性和單調性的關系將不等式f（x）＞0轉化為g（x）＞0或g（x）＜0進行求解即可．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
則g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵當x＞0時，有f（x）-xf′（x）＞0成立，
∴當x＞0時，有xf′（x）-f（x）＜0成立，即此時g′（x）＜0，函數g（x）為減函數，
∵f（x）是定義在R上的奇函數且f（-3）=0，
∴f（3）=0，且g（x）是偶函數，g（3）=g（-3）=0
當x＞0時，f（x）＞0等價為g（x）＞0，即g（x）＞g（3），得0＜x＜3，
當x＜0時，f（x）＞0等價為g（x）＜0，即g（x）＜g（-3），
此時函數g（x）增函數，得x＜-3，
綜上不等式f（x）＞0的解集是（-∞，-3）∪（0，3），
故選：A．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據條件構造函數，求函數的導數，利用導數研究函數的單調性，結合函數奇偶性和單調性的關系將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．綜合性較強．