Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³+x．
（1）求定積分$\int_{-3}^3{（{f（x）+{x^2}}）dx}$的值；
（2）若曲線y=f（x）的一條切線經(jīng)過點(diǎn)（0，-2），求此切線的方程．

Answer 1

分析 （1）由f（x）為奇函數(shù)，積分為0，再由偶函數(shù)的圖象，結(jié)合積分的公式，計(jì)算即可得到所求值；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，m³+m），求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切線的斜率和方程．

解答 解：（1）$\int_{-3}^3{（{f（x）+{x^2}}）dx=\int_{-3}^3{f（x）dx+\int_{-3}^3{{x^2}dx}}}$，
∵f（x）=x³+x是奇函數(shù)，y=x²是偶函數(shù)，
∴$\int_{-3}^3{f（x）dx=0}$，$\int_{-3}^3{{x^2}dx}=2\int_0^3{{x^2}dx=2×\frac{1}{3}{x^3}\left|{\begin{array}{l}3\\ 0\end{array}=18}\right.}$，
∴$\int_{-3}^3{（{f（x）+{x^2}}）dx=18}$．
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，m³+m），
f（x）=x³+x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+1，
∵f′（m）=3m²+1，
∴$\frac{{{m^3}+m+2}}{m}=3{m^2}+1$，
∴m³+m+2=3m²+m，
∴m³=1，∴m=1．
故切點(diǎn)為（1，2），
且該切線的斜率為4，
則此切線的方程為y-2=4（x-1）
即y=4x-2．

點(diǎn)評 本題考查定積分的運(yùn)算，注意運(yùn)用積分的性質(zhì)和公式，考查切線的方程的求法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)和運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，解方程是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．