Question

19．已知點A（1，0），若點B是曲線y=f（x）上的點，且線段AB的中點在曲線y=g（x）上，則稱點B是函數(shù)y=f（x）關(guān)于函數(shù)g（x）的一個“關(guān)聯(lián)點”，已知f（x）=|log₂x|，g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，則函數(shù)f（x）關(guān)于函數(shù)g（x）的“關(guān)聯(lián)點”的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)B的坐標(biāo)，求出A，B的中點坐標(biāo)C，利用C在g（x）上，建立方程關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題 進行求解即可．

解答 解：令點B（x，|log₂x|），x＞0，
A，B的中點C（$\frac{1+x}{2}$，$\frac{1}{2}$|log₂x|）．
由于點C在函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象上，
故有$\frac{1}{2}$|log₂x|=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1+x}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x，
即|log₂x|=$\sqrt{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x，
故函數(shù)f（x）關(guān)于函數(shù)g（x）的“關(guān)聯(lián)點”的個數(shù)是，
即為函數(shù)y=|log₂x|和曲線y=$\sqrt{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x的交點的個數(shù)．
在同一個坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=|log₂x|和y=$\sqrt{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x的$\frac{4}{1+x}$的圖象，
由圖象知兩個函數(shù)的交點個數(shù)為2個，
則函數(shù)f（x）關(guān)于函數(shù)g（x）的“關(guān)聯(lián)點”的個數(shù)是2，
故故選：B．

點評 本題主要考查新定義，關(guān)聯(lián)點的個數(shù)的求法，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．