Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x³+bx²+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9x=0的兩個(gè)根分別為1，4，
(Ⅰ)當(dāng)a=3且曲線y=f(x)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若f(x)在（-∞，+∞）內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：由f(x)=x³+bx²+cx+d得f′(x)=ax²+2bx+c，
因?yàn)閒′(x)-9x=ax²+2bx+c-9x=0的兩個(gè)根分別為1，4，
所以，，（*）
(Ⅰ)當(dāng)a=3時(shí)，由(*)式得，
解得b=-3，c=12，
又因?yàn)榍�線y=f(x)過(guò)原點(diǎn)，所以d=0，
故f(x)=x³-3x²+12x．
(Ⅱ)由于a＞0，所以“f(x)=x³+bx²+cx+d在（-∞，+∞）內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)”等價(jià)于“f'(x)=ax²+2bx+c≥0在（-∞，+∞）內(nèi)恒成立”，
由（*）式得2b=9-5a，c=4a，
又Δ=(2b)²-4ac=9(a-1)(a-9)，
解得，
即a的取值范圍是[1，9]．