Question

某教育機(jī)構(gòu)進(jìn)行課程促銷活動(dòng)，促銷方案是：學(xué)員每一次性購買60小時(shí)，便可以獲得獎(jiǎng)券一張，每張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為

1

5

，若中獎(jiǎng)，則該教育機(jī)構(gòu)返還學(xué)員1000元，某學(xué)員一次性購買了180h的課程，得到3張獎(jiǎng)券，該學(xué)員購買課時(shí)的實(shí)際支出為ξ（元）．（每課時(shí)100元）
（1）求ξ的所有可能取值；
（2）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E_ξ．

Answer 1

分析：（1）設(shè)隨機(jī)變量η表示中獎(jiǎng)次數(shù)，則η的所有可能取值為0，1，2，3．當(dāng)η=0時(shí)，ξ=18000；當(dāng)η=1時(shí)，ξ=18000-1000=17000；…依此類推，故ξ的所有可能取值為15000，16000，17000，18000；
（2）由題意可知：η～B(3，

1

5

)，則P（η=k）=

C

k 3

(

1

5

)k(

4

5

)3-k（k=0，1，2，3）．據(jù)此即可得出ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）設(shè)隨機(jī)變量η表示中獎(jiǎng)次數(shù)，則η的所有可能取值為0，1，2，3．當(dāng)η=0時(shí)，ξ=18000；當(dāng)η=1時(shí)，ξ=18000-1000=17000；當(dāng)η=2時(shí)，ξ=18000-2000=16000；當(dāng)η=3時(shí)，ξ=18000-3000=15000．故ξ的所有可能取值為15000，16000，17000，18000；
（2）由題意可知：η～B(3，

1

5

)，則P（η=k）=

C

k 3

(

1

5

)k(

4

5

)3-k（k=0，1，2，3）．
∴P（ξ=18000）=P（η=0）=(

4

5

)3=

64

125

；P（ξ=17000）=P（η=1）=

C

1 3

(

1

5

)1×(

4

5

)2=

48

125

，P（ξ=16000）=P（η=2）=

C

2 3

(

1

5

)2×

4

5

=

12

125

，P（ξ=15000）=P（η=3）=

C

3 3

×(

1

5

)3=

1

125

．
故其分布列為
故Eξ=18000×

64

125

+17000×

48

125

+16000×

12

125

+15000×

1

125

=17400．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)學(xué)期望是解題的關(guān)鍵．