Question

10．已知a、b為正整數(shù)．設(shè)兩直線1₁：y=b-$\frac{a}$x與1₂：y=$\frac{a}$x的交點(diǎn)為P₁（x₁，y₁），且對(duì)于n≥2的自然數(shù)，兩點(diǎn)（0，b），（x_n-1，0）的連線與直線y=$\frac{a}$x的交點(diǎn)為P_n（x_n，y_n）
（1）求P₁，P₂的坐標(biāo)；
（2）猜想P_n的坐標(biāo)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線1₁：y=b-$\frac{a}$x與1₂：y=$\frac{a}$x，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出過(guò)（0，b），（$\frac{a}{2}$，0）兩點(diǎn)的直線方程，聯(lián)立方程組求出P₂的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)n=2時(shí)，由（1）知成立，然后假設(shè)n=k時(shí)，P_k（$\frac{a}{k+1}，\frac{k+1}$），求出過(guò)（0，b）、（$\frac{a}{k+1}$，0）的直線方程為$\frac{k+1}{a}x+\frac{y}=1$，與y=$\frac{a}x$聯(lián)立求得P_k+1滿足P_n的坐標(biāo)形式得答案．

解答 解：（1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=b-\frac{a}x}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{2}}\\{y=\frac{2}}\end{array}\right.$，
∴P₁（$\frac{a}{2}，\frac{2}$），過(guò)（0，b），（$\frac{a}{2}$，0）兩點(diǎn)的直線方程為$\frac{2x}{a}+\frac{y}=1$，與y=$\frac{a}$x聯(lián)立得P₂（$\frac{a}{3}，\frac{3}$）；
（2）猜想P_n（$\frac{a}{n+1}，\frac{n+1}$）．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=2時(shí)，已得結(jié)論成立．
假設(shè)n=k時(shí)，P_k（$\frac{a}{k+1}，\frac{k+1}$），過(guò)（0，b）、（$\frac{a}{k+1}$，0）的直線方程為$\frac{k+1}{a}x+\frac{y}=1$，與y=$\frac{a}x$聯(lián)立得，
P_k+1（$\frac{a}{k+2}，\frac{k+2}$），即n=k+1時(shí)，猜想成立．
綜上，P_n（$\frac{a}{n+1}，\frac{n+1}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，訓(xùn)練了利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，是中檔題．