Question

已知函數(shù)f(x)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．

(1)試用含a的代數(shù)式表示函數(shù)f(x)的解析式，并指出它的定義域；

(2)數(shù)列｛a_n｝中，a₁＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＞a₁．?dāng)?shù)列｛b_n｝中，b₁＝2，S_n＝b₁＋b₂＋…b_n．點(diǎn)在函數(shù)f(x)的圖像上，求_a的值；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)P_n作傾斜角為的直線l_n，則l_n在ｙ軸上的截距為，求數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)公式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由題可知：與函數(shù)互為反函數(shù)，所以， 　　，　　2分 　　(2)因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以， 　　(*) 　　在上式中令可得：，又因?yàn)椋?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0526/0021/9205c303b093bff1fb0efe43c4d884a7/C/Image115.gif" width=34 height=24>，，代入可解得：．所以，，(*)式可化為：①6分 　　(3)直線的方程為：，， 　　在其中令，得，又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0526/0021/9205c303b093bff1fb0efe43c4d884a7/C/Image121.gif" width=14 height=24>在ｙ軸上的截距為，所以， 　　=，結(jié)合①式可得：② 　　由①可知：當(dāng)自然數(shù)時(shí)，，，兩式作差得：． 　　結(jié)合②式得：③ 　　在③中，令，結(jié)合，可解得：， 　　又因?yàn)椋寒?dāng)時(shí)，，所以，舍去，得． 　　同上，在③中，依次令，可解得：，． 　　猜想：．下用數(shù)學(xué)歸納法證明．　　10分 　　(1)時(shí)，由已知條件及上述求解過程知顯然成立． 　　(2)假設(shè)時(shí)命題成立，即，則由③式可得： 　　 　　把代入上式并解方程得： 　　由于，所以，，所以， 　　符合題意，應(yīng)舍去，故只有． 　　所以，時(shí)命題也成立． 　　綜上可知：數(shù)列的通項(xiàng)公式為　　14分