Question

對集合A，如果存在x使得對任意正數(shù)a，都存在x∈A，使0＜|x-x|＜a，則稱x為集合A的“聚點”，給出下列四個集合：
①；
②{x∈R|x≠0}；
③；
④Z．
其中以0為“聚點”的集合是（ ）
A．②③
B．①②
C．①③
D．②④

Answer 1

【答案】分析：利用“聚點”的定義可得①的聚點是1，②的聚點是0，③的聚點是0，而④無聚點．
解答：解：①令f（n）=，則=，即f（n）=當n∈N時單調遞增，則1為其“聚點”，下面給出證明：
取x=1，對任意正數(shù)a，要使成立，只要取正整數(shù)，故1是其“聚點”；
②由實數(shù)的稠密性可知：對任意正數(shù)a，都存在x=∈{x∈R|x≠0}，使0＜|x-0|＜a成立，故0是此集合的“聚點”；
③∵，由（1）可知：0為集合{}，根據(jù)“聚點”的定義可知，0是其聚點；
④?n∈Z，且n≠0，則|n|≥1，故取0＜a＜1，則不存在x∈Z，使0＜|x-x|＜a成立，根據(jù)“聚點”的定義可知：所給集合不存在聚點．
綜上可知：只有②③正確；
故選A．
點評：正確理解函數(shù)的單調性、實數(shù)的稠密性、聚點的定義是解題的關鍵．