Question

已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，點M是棱AA′的中點，點O是對角線BD′的中點．
(Ⅰ)求證：OM為異面直線AA′和BD′的公垂線；
(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小；
(Ⅲ)求三棱錐M-OBC的體積．

Answer 1

(Ⅰ)證明：連結AC，取AC的中點K，則K為BD的中點，連結OK， 因為點M是棱AA′的中點，點D是BD′的中點， 所以，所以， 由AA′⊥AK，得MO⊥AA′， 因為AK⊥BD，AK⊥BB′， 所以AK⊥平面BDD′B′， 所以AK⊥BD′，所以MO⊥BD′， 又因為OM與異面直線AA′和BD′都相交， 故OM為異面直線AA′和BD′的公垂線． (Ⅱ)解：取BB′的中點N，連結MN，則MN⊥平面BCC′B′， 過點N作NH⊥BC′于H，連結MH，則由三垂線定理得，BC′⊥MH， 從而，∠MHN為二面角M-BC′-B′的平面角， ， 在Rt△MNH中，， 故二面角M-BC′-B′的大小為。 (Ⅲ)解：易知，S△OBC=S△OA′D′，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′內， 點O到平面MA′D′的距離， 。