Question

18．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)k＞0，使|f（x）|≤$\frac{k}{2015}$|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f（x）為“海寶”函數(shù)．給出下列函數(shù)：
①f（x）=x²；②f（x）=sinx+cosx；③f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；④f（x）=3^x+1
其中f（x）是“海寶”函數(shù)的有（　�。﹤�．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 對于①：假設函數(shù)f（x）是“海寶”函數(shù)：則f（x）=x²≤$\frac{k}{2015}$|x|，x=0時，k∈R，x≠0時，化為k≥2015|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，即可判斷出結(jié)論；
同理可得②④也不是“海寶”函數(shù)．
對于③：假設函數(shù)f（x）是“海寶”函數(shù)：則|f（x）|=|$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$|≤$\frac{k}{2015}$|x|，x≤0時，成立；當x＞0時，化為$\frac{1}{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$≤$\frac{k}{2015}$，可得：k≥$\frac{8060}{3}$，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：對于①：假設函數(shù)f（x）是“海寶”函數(shù)：則f（x）=x²≤$\frac{k}{2015}$|x|，x=0時，k∈R，x≠0時，化為k≥2015|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假設不正確，即函數(shù)f（x）不是“海寶”函數(shù)；
同理可得②④也不是“海寶”函數(shù)．
對于③：假設函數(shù)f（x）是“海寶”函數(shù)：則|f（x）|=|$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$|≤$\frac{k}{2015}$|x|，x≤0時，只要取：k≥$\frac{8060}{3}$，成立；當x＞0時，化為$\frac{1}{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$≤$\frac{k}{2015}$，
可得：k≥$\frac{8060}{3}$，因此只要�。簁≥$\frac{8060}{3}$，則函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$是“海寶”函數(shù)．
故選：A．

點評 本題考查了新定義“海寶”函數(shù)、分類討論方法、函數(shù)的單調(diào)性及其最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．