Question

（本小題滿分14分）如圖，在四棱柱中，底面，，，且 ，點E在棱AB上，平面與棱相交于點F.

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）若E是棱AB的中點，求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求三棱錐的體積的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：因為是棱柱，所以平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理可知，∥.根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果.

（Ⅱ）因為底面，，所以，，兩兩垂直，以A為原點，以，，分別為軸、軸和軸，如圖建立空間直角坐標系. 利用空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，求出平面的法向量為 又因為平面的法向量為， 根據(jù)向量的夾角公式，即可求出二面角的余弦值；

（Ⅲ）過點F作于點,因為平面平面，平面,所以平面,所以，因為當F與點重合時，取到最大值2（此時點E與點B重合），即可求出三棱錐的體積的最大值.

試題解析：（Ⅰ）證明：因為是棱柱，

所以平面平面.

又因為平面平面，平面平面，

所以∥. 2分

又因為平面，平面，

所以∥平面. 4分

（Ⅱ）【解析】
因為底面，，

所以，，兩兩垂直，以A為原點，以，，分別為軸、軸和軸，如圖建立空間直角坐標系. 5分

則，，，

所以 ,.

設(shè)平面的法向量為

由，,

得

令,得. 7分

又因為平面的法向量為， 8分

所以，

由圖可知，二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為. 10分

（Ⅲ）【解析】
過點F作于點,

因為平面平面，平面,

所以平面,

所以 12分

.

因為當F與點重合時，取到最大值2（此時點E與點B重合），

所以當F與點重合時，三棱錐的體積的最大值為. 14分.

考點： 1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理；2.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用；3.錐體的體積公式.