Question

設數(shù)列｛a_n｝的前n項和為S_n且a_n≠0（n∈N^*），S₁，S₂，…，S_n，…成等比數(shù)列，試問數(shù)列a₂，a₃，a₄，…，a_n，…成等比數(shù)列嗎?證明你的結論.

   

Answer 1

思路分析：判斷a₂，a₃，…a_n，…是否成等比數(shù)列，即是判斷(n≥2)是否是常數(shù).由題設條件可得到S_n的表達式.問題轉化為已知S_n求a_n的問題.

    解：設a₁=a，則S₁=a₁=a.因為｛S_n｝成等比數(shù)列，設公比為q，則S_n=S₁q^n-1=aq^n-1.當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1-aq^n-2=aq^n-2(q-1)， a_n+1=S_n+1-S_n=aqⁿ-aq^n-1=aq^n-1(q-1).

    當q=1時，｛S_n｝為常數(shù)列，此時a_n=0與題設條件a_n≠0矛盾.所以q≠1.

    所以==q(n≥2，n∈N^*).

    故數(shù)列a₂，a₃，…a_n，…成等比數(shù)列.