Question

已知橢圓的一個頂點(diǎn)為B（0，4），離心率，直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)。

（1）若直線的方程為，求弦MN的長；

（2）如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，求直線方程的一般式。

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由離心率可求出橢圓的方程，然后聯(lián)立方程求出直線l與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)，利用弦長公式即可；（2）先利用重心定理求出Q的坐標(biāo)（3，-2），因?yàn)镼為MN的中點(diǎn)，可由點(diǎn)差法來求直線的斜率.

試題解析：(1)由已知，且，即 2分

∴橢圓方程為 3分

由與聯(lián)立，消去得

∴ 5分

∴所求弦長 6分

（2）橢圓右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q（）

由三角形重心的性質(zhì)知，又B（0，4）

∴，故得，

所以得Q的坐標(biāo)為（3，-2） 8分

設(shè)，則且， 兩式相減得

∴ 10分

故直線MN的方程為，即 12分

考點(diǎn)：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）向量在解析幾何在的應(yīng)用；（3）直線與圓錐曲線的問題.