Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{2a}{x}$，a∈R
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$，根據(jù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，得出a≤$\frac{x}{2}$在[1，+∞）上恒成立．令g（x）=$\frac{x}{2}$，則a≤[g（x）]_min，從而求得實數(shù)a的取值范圍；
（2）由（1）得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$，x∈[1，e]．下面對2a進(jìn)行分類討論：①若2a＜1，②若1≤2a≤e，③若2a＞e，分別討論函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為2列出等式求出a值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+$\frac{2a}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≤$\frac{x}{2}$在[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=$\frac{x}{2}$，
∵g（x）=$\frac{x}{2}$在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）_min=g（1）=$\frac{1}{2}$，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]；
（2）由（1）得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$，x∈[1，e]．
①若2a＜1，則x-2a＞0，即f'（x）＞0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上是增函數(shù)．
所以[f（x）]_min=f（1）=2a=2，解得a=1（舍去）．
②若1≤2a≤e，令f'（x）=0，得x=2a．
當(dāng)1＜x＜2a時，f'（x）＜0，所以f（x）在（1，2a）上是減函數(shù)，
當(dāng)2a＜x＜e時，f'（x）＞0，所以f（x）在（2a，e）上是增函數(shù)．
所以[f（x）]_min=f（2a）=ln（2a）+1=2，解得a=$\frac{e}{2}$．
③若2a＞e，則x-2a＜0，即f'（x）＜0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上是減函數(shù)．
所以[f（x）]_min=f（e）=1+$\frac{2a}{e}$=2，解得a=$\frac{e}{2}$（舍去）．
綜上所述：a=$\frac{e}{2}$．

點評 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題