Question

對于定義在D上的函數(shù)y=f（x），若同時滿足
（Ⅰ）存在閉區(qū)間A=

π

3

，B=x，C＞0，使得任取x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c（c是常數(shù)）；
（Ⅱ）對于D內(nèi)任意x₂，當(dāng)x₂∉[a，b]時總有f（x₂）＞c，則稱f（x）為“平底型”函數(shù)．
（1）判斷f₁（x）=|x-1|+|x-2|，f₂（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函數(shù)？簡要說明理由；
（2）設(shè)f（x）是（1）中的“平底型”函數(shù)，若|t-1|+|t+1|≥f（x），對一切t∈R恒成立，求實數(shù)x的范圍；
（3）若x=4時，f（x）是“平底型”函數(shù)，求m和n滿足的條件，并說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,帶絕對值的函數(shù)

專題：新定義

分析：（1）考查函數(shù)是否全部具備“平底型”函數(shù)的定義中的2個條件：①在一個閉區(qū)間上，函數(shù)值是個常數(shù)，
②在閉區(qū)間外的定義域內(nèi)，函數(shù)值大于此常數(shù)．
（2）要使一個式子大于或等于f（x）恒成立，需使式子的最小值大于或等于f（x）即可，從而得到f（x）≤2，
結(jié)合“平底型”函數(shù)f（x）的圖象可得，當(dāng)x∈[0.5，2.5]時，f（x）≤2成立．
（3）根據(jù)函數(shù)解析式，進(jìn)行分類討論：m+n＞0；m-n≠0；m+n＜0；m+n=0；m-n＞0；m-n＜0；m-n=0，結(jié)合圖象驗證求解．

解答： 解：（1）f₁（x）=|x-1|+|x-2|是“平底型”函數(shù)，…1分
存在區(qū)間[1，2]使得x∈[1，2]時，f（x）=1，當(dāng)x＜1和x＞2時，f（x）＞1恒成立； …2分
f₂（x）=x-|x-3|不是“平底型”函數(shù)，…1分
不存在[a，b]⊆D使得任取x∈[a，b]，都有f（x）=常數(shù) …1分
（2）若|t-1|+|t+1|≥f（x），對一切t∈R
恒成立（|t-1|+|t+1|）_min≥f（x）
（|t-1|+|t+1|）_min=2 …3分
f（x）≤2即|x-1|+|x-2|≤2
解得

1

2

≤x≤

5

2

…3分
（3）f(x)=

-(m+n)x+m+2nx＜1 (m-n)x+2n-m1≤x≤2 (m+n)x-m-2nx＞2

①當(dāng)m+n＞0時若m-n=0時，由圖1b知，是“平底型”函數(shù)，存在[1，2]使常數(shù) …1分
若m-n≠0時，由圖1a知，是“平底型”函數(shù)，存在[a，b]滿足條件 …1分
②m+n＜0不是由圖2知，不是“平底型”函數(shù)，…1分
③m+n=0
若m-n＞0時，由圖3知不是“平底型”函數(shù)，因為不存在區(qū)間[a，b]滿足條件 …1分若m-n＜0時，由圖4 知不是“平底型”函數(shù)，因為不存在區(qū)間[a，b]滿足條件 …1分若m-n=0時，f（x）=0，顯然不是“平底型”函數(shù) …1分

點評：本題的考點是函數(shù)恒成立問題，綜合考查函數(shù)概念及構(gòu)成要素，及不等式中的恒成立問題，體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵是對新概念的理解．