Question

（2013•廣元一模）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n其前n項(xiàng)和，且a_n+1=2S_n+n²-n+1，
①設(shè)b_n=a_n+1-a_n，求數(shù)列{b_n}的 前n項(xiàng)和T_n；
②求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：①利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，證明{b_n+1}是以3為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)論；
②利用疊加法，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：①∵a_n+1=2S_n+n²-n+1，
∴n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1+（n-1）²-（n-1）+1，
兩式相減可得a_n+1-a_n=2a_n+2n-2，
∵a₁=1，∴a₂=3，也滿足上式，怎么
∴a_n+1-3a_n=2n-2
∴n≥2時(shí)，a_n-3a_n-1=2（n-1）-2
∵b_n=a_n+1-a_n，∴兩式相減可得，n≥2時(shí)，b_n-3b_n-1=2
∴b_n+1=3（b_n-1+1）
∵b₁+1=3≠0，∴{b_n+1}是以3為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列
∴b_n+1=3ⁿ，
∴b_n=3ⁿ-1，
∴T_n=

3(1-3n)

1-3

-n=

1

2

•3n+1-n-

3

2

；
②由①知，a_n+1-a_n=3ⁿ-1
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=3⁰+3¹+…+3^n-1-（n-1）=

1

2

(3n+1)-n

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查疊加法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．