Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O為AD中點．

(Ⅰ)求證：PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；

(Ⅲ)求點A到平面PCD的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)證明：在△PAD卡中PA＝PD，O為AD中點，所以PO⊥AD． 　　又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD， 　　所以PO⊥平面ABCD． 　　(Ⅱ)連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝2AB＝2BC， 　　有OD∥BC且OD＝BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形， 　　所以OB∥DC． 　　由(Ⅰ)知PO⊥OB，∠PBO為銳角， 　　所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角． 　　因為AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝， 　　在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以OP＝1， 　　在Rt△PBO中，PB＝， 　　cos∠PBO＝， 　　所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為． 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)得CD＝OB＝， 　　在Rt△POC中，PC＝， 　　所以PC＝CD＝DP，S△PCD＝·2＝． 　　又S△＝ 　　設點A到平面PCD的距離h， 　　由VP－ACD＝VA－PCD， 　　得S△ACD·OP＝S△PCD·h， 　　即×1×1＝××h， 　　解得h＝． 　　解法二： 　　(Ⅰ)同解法一， 　　(Ⅱ)以O為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O－xyz． 　　則A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)， 　　D(0，1，0)，P(0，0，1)． 　　所以＝(－1，1，0)，＝(t，－1，－1)， 　　∞〈、〉＝， 　　所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為， 　　(Ⅲ)設平面PCD的法向量為n＝(x0，y0，x0)， 　　由(Ⅱ)知＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)， 　　則所以 　　即x0＝y0＝x0， 　　取x0＝1，得平面的一個法向量為n＝(1，1，1)． 　　又＝(1，1，0)． 　　從而點A到平面PCD的距離d＝ 　　本小題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成角、點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力和運算能力．滿分12分．