Question

在日常生活中,你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn):兩個人共提一個旅行包,夾角越大越費(fèi)力;在單杠上做引體向上運(yùn)動,兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎?

Answer 1

圖1

活動:這個日常生活問題可以抽象為如圖1所示的數(shù)學(xué)模型,引導(dǎo)學(xué)生由向量的平行四邊形法則,力的平衡及解直角三角形等知識來思考探究這個數(shù)學(xué)問題.這樣物理中用力的現(xiàn)象就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的向量問題.只要分析清楚F、G、θ三者之間的關(guān)系(其中,F為F₁、F₂的合力),就得到了問題的數(shù)學(xué)解釋.

    在教學(xué)中要盡可能地采用多媒體,在信息技術(shù)的幫助下讓學(xué)生來動態(tài)地觀察|F|、|G|、θ之間在變化過程中所產(chǎn)生的相互影響.由學(xué)生獨(dú)立完成本例后,與學(xué)生共同探究歸納出向量在物理中的應(yīng)用的解題步驟,也可以由學(xué)生自己完成,還可以用信息技術(shù)來驗(yàn)證.

    用向量解決物理問題的一般步驟是:①問題的轉(zhuǎn)化,即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;②模型的建立,即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型;③參數(shù)的獲得,即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值;④問題的答案,即回到問題的初始狀態(tài),解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象.

解:不妨設(shè)|F₁|=|F₂|,由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識,可以知道

cos.

    通過上面的式子,我們發(fā)現(xiàn):當(dāng)θ由0°到180°逐漸變大時,由0°到90°逐漸變大,cos的值由大逐漸變小,因此|F₁|由小逐漸變大,即F₁,F₂之間的夾角越大越費(fèi)力,夾角越小越省力.

點(diǎn)評:本例是日常生活中經(jīng)常遇到的問題,學(xué)生也會有兩人共提一個旅行包以及在單杠上做引體向上運(yùn)動的經(jīng)驗(yàn).本例的關(guān)鍵是作出簡單的受力分析圖,啟發(fā)學(xué)生將物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化成模型,從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行解釋,這就是本例活動中所完成的事情.教學(xué)中要充分利用好這個模型,為解決其他物理問題打下基礎(chǔ).得到模型后就可以發(fā)現(xiàn),這是一個很簡單的向量問題,這也是向量工具優(yōu)越性的具體體現(xiàn).