Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，PA=AB=2CD=2BC=2，PB=2$\sqrt{2}$，PD=$\sqrt{6}$，E為PD上一點．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；．
（Ⅱ）若三棱錐E-ACD的體積為$\frac{1}{6}$，求點E到平面PAB的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用勾股定理證明PA⊥AB，PA⊥AD，利用線面垂直的判定定理，即可證明PA⊥平面ABCD；．
（Ⅱ）過點E作EM⊥AD于點M，利用三棱錐E-ACD的體積為$\frac{1}{6}$，求出EM，再求點E到平面PAB的距離．

解答 （Ⅰ）證明：△PAB中，PA=2，AB=2，PB=2$\sqrt{2}$，
∴PA²+AB²=PB²，
∴PA⊥AB，
同理PA⊥AD，
∵AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：過點E作EM⊥AD于點M，則EM∥PA，

∵PA⊥平面ABCD，
∴EM⊥平面ABCD，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×EM$=$\frac{1}{6}$，
∴EM=1，
∴E為PD中點，
∴點E到平面PAB的距離是點D到平面PAB的距離的$\frac{1}{2}$，
∵DC∥平面PAB，BC⊥平面PAB，BC=1，
∴點D到平面PAB的距離是1，
∴點E到平面PAB的距離是$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查線面垂直，考查點到平面距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．