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12．如圖，正方形ABCD邊長為2，以D為圓心、DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點F，連結(jié)CF并延長交AB于點E．
（1）求證：點E為AB的中點；
（2）求EF的值．

分析 （1）推導出EA為圓D的切線，且EB是圓O的切線，由此利用切割線定理能證明AE=EB．
（2）在Rt△BCE中，由射影定理得BE2=EF•EC，即可得到要求的線段．

解答 （1）證明：由以D為圓心DA為半徑作圓，而ABCD為正方形，
∴EA為圓D的切線
依據(jù)切割線定理得EA2=EF•EC…（2分）
∵圓O以BC為直徑，∴EB是圓O的切線，
同樣依據(jù)切割線定理得EB2=EF•EC…（2分）
故AE=EB…（5分）
所以點E為AB的中點
（2）解：連結(jié)BF，∵BC為圓O的直徑，∴BF⊥EC
又在Rt△BCE中，由射影定理得BE2=EF•EC
所以$EF=\frac{{B{E^2}}}{EC}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（10分）

點評 本題考查切割線定理，考查射影定理，是一個中檔題目．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

2．將3個半徑為1的球和一個半徑為$\sqrt{2}-1$的球疊為兩層放在桌面上，上層只放一個較小的球，四個球兩兩相切，那么上層小球的最高點到桌面的距離是（　�。�
A．$\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{3}$B．$\frac{{\sqrt{3}+2\sqrt{6}}}{3}$C．$\frac{{\sqrt{2}+2\sqrt{6}}}{3}$D．$\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{3}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F在x軸上，D為短軸上一個端點，且△DOF的內(nèi)切圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，離心率e是方程2x2-5x+2=0的一個根．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點，過橢圓C的右焦點作直線l∥AB交橢圓C于M，N兩點，是否存在常數(shù)λ，使得|AB|2=λ|MN|？若存在，請求出λ；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

20．定義2×2矩陣$|\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{a}_{3}}&{{a}_{4}}\end{array}|$=a1a4-a2a3，若f（x）=$|\begin{array}{l}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}&{\sqrt{3}}\\{cos（\frac{π}{2}+2x）}&{1}\end{array}|$，則f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位得到函數(shù)g（x），則函數(shù)g（x）的解析式為（　　）
A．圖象關于（π，0）中心對稱B．圖象關于直線x=$\frac{π}{2}$對稱
C．g（x）是周期為π的奇函數(shù)D．在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，0]上單調(diào)遞增

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．設F1、F2是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1的左右焦點，過F2的直線l與橢圓交于A，B兩點，求△F1AB的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

17．“點P的軌跡方程為y=|x|”是“點P到兩條坐標軸距離相等”的（　�。�
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．不充分不必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

4．一座拋物線形拱橋，高水位時，拱頂離水面3m，水面寬2$\sqrt{6}$m，當水面上升1m后，水面寬4m．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）．
（1）有一枚質(zhì)地均勻的正四面體玩具，玩具的各個面上分別寫著數(shù)字1，2，3，4．若先后兩次投擲玩具，將朝下的面上的數(shù)字依次記為a，b，求雙曲線C的離心率小于$\sqrt{5}$的概率；
（2）在區(qū)間[1，6]內(nèi)取兩個數(shù)依次記為a，b，求雙曲線C的離心率小于$\sqrt{5}$的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

2．已知焦點在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的離心率e=$\frac{1}{2}$，則實數(shù)m=12．

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