Question

6．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，M為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，給出如下結(jié)論：
①$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AO}$
②$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{MD}$=4$\overrightarrow{OM}$
③若M∈AB，則滿足x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$的實數(shù)x有無數(shù)個
④若M∈AB，且滿足x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，則點M是AB的中點．
其中正確的結(jié)論是①④（填上你認為正確的所有結(jié)論序號）

Answer 1

分析 可作出圖形，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則及加法的幾何意義即可判斷①②的正誤，對于③④，可以根據(jù)條件得到$x\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2x}\overrightarrow{BO}$，然后根據(jù)向量加法的平行四邊形法及平行線分線段成比例定理便可得到$1-\frac{1}{-2x}=-\frac{x}{2}$，可解出x=-1，這樣即可判斷結(jié)論④正確．

解答 解：如圖，

①$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$，該結(jié)論正確；
②$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$=$（\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}）+（\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}）$$+（\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}）+（\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}）$=$4\overrightarrow{MO}+（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）+（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}）$=$4\overrightarrow{MO}$，∴該結(jié)論錯誤；
③根據(jù)條件知，x≠0，∴$\frac{x}{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2x}\overrightarrow{BO}$，x＜0，如圖，作MN∥AC，NE∥OM，分別交OB于N，OC于E；

則$ON=\frac{1}{-2x}OB$，$OE=MN=-\frac{x}{2}AO$；
∴$1-\frac{1}{-2x}=-\frac{x}{2}$；
∴解得x=-1；
∴$MN=\frac{1}{2}AO$；
∴M為AB的中點；
∴③錯誤，④正確；
∴正確的結(jié)論為①④．
故答案為：①④．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，向量加法的幾何意義，以及共線向量基本定理，平行線分線段成比例定理．