Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，直線x+y-2n=0（n∈N^*）經(jīng)過點(diǎn)（a_n，S_n）．
（1）求出a₁、a₂、a₃、a₄的值；
（2）請你猜想通項(xiàng)公式a_n的表達(dá)式，并選擇合適的方法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）直接由已知結(jié)合數(shù)列遞推式計(jì)算a₁、a₂、a₃、a₄的值，并猜想a_n的表達(dá)式；
（2）由數(shù)列遞推式得到an=$\frac{1}{2}$an-1+1（n≥2），然后構(gòu)造等比數(shù)列{a_n-2}，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．

解答 解：（1）由題意可得：S_n=2n-a_n，得S₁=2-a₁，即a₁=1．
S₂=a₁+a₂=4-a₂，解得a2=$\frac{3}{2}$．
S₃=a₁+a₂+a₃=6-a₃，解得a3=$\frac{7}{4}$．
S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=8-a₄，解得a4=$\frac{15}{8}$．
（2）猜想：an=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．
證明：由S_n=2n-a_n，得
S_n-1=2（n-1）-a_n-1（n≥2）．
兩式作差得，an=$\frac{1}{2}$an-1+1（n≥2）．
即an-2=$\frac{1}{2}$（an-1-2）（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n-2}是以-1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．
∴an-2=-（$\frac{1}{2}$）n-1，
即an=2-（$\frac{1}{2}$）n-1=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了歸納猜想思想方法，是中檔題．