Question

9．已知|AB|=2$\sqrt{5}$，M是線段AB的中點，點P在平面內運動且|PA|+|PB|=6，則|PM|的最大值和最小值分別是（　　）

• A． 3，$\sqrt{5}$
• B． 3，2
• C． 3，$\sqrt{3}$
• D． 4，2

Answer 1

分析 由橢圓的定義可得P的軌跡為以A，B為焦點（設在x軸上），長軸長為6的橢圓，求得a，b，c，即可得到橢圓方程，再由兩點的距離公式，結合二次函數的最值及橢圓的范圍，可得最值．

解答 解：以M為直角坐標原點，
由|PA|+|PB|=6＞|AB|=2$\sqrt{5}$，
由橢圓的定義，可得P的軌跡為以A，B為焦點（設在x軸上），
長軸長為6的橢圓，
即有a=3，c=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
則|PM|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{9（1-\frac{{y}^{2}}{4}）+{y}^{2}}$=$\sqrt{9-\frac{5}{4}{y}^{2}}$，
由-2≤y≤2可得y=0時，取得最大值3，y=±2時，取得最小值2．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質，主要考查橢圓方程的運用和范圍的運用，以及運算能力，屬于中檔題．