Question

11．橢圓$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}$=1的焦點(diǎn)為F₁、F₂，橢圓上的點(diǎn)P滿(mǎn)足∠F₁PF₂=60⁰，則△F₁PF₂的面積是（　�。�

• A． $\frac{{64\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{91\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{64}{3}$

Answer 1

分析 利用橢圓定義和余弦定理，列出方程組，求出|PF₁|•|PF₂|=$\frac{256}{3}$，由此能求出△F₁PF₂的面積．

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}$=1的焦點(diǎn)為F₁、F₂，橢圓上的點(diǎn)P滿(mǎn)足∠F₁PF₂=60⁰，
∴由橢圓定義得：|PF₁|+|PF₂|=20，
∴|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=400，①
由余弦定理得：$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}|$•|PF₂|cos∠F₁PF₂=4×36，②
聯(lián)立①②，得：|PF₁|•|PF₂|=$\frac{256}{3}$，
∴△F₁PF₂的面積是S=$\frac{1}{2}•$|PF₁|•|PF₂|•sin60°=$\frac{1}{2}×$$\frac{256}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{64\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓定義和余弦定理的合理運(yùn)用．