Question

10．已知點(diǎn)P（-3，3），圓C：x²+y²-4x-4y+7=0，直線l₀：x-y+2=0
（1）過點(diǎn)P作圓C的切線，求切線的長；
（2）過點(diǎn)P作直線l，與l關(guān)于直線l₀對(duì)稱的直線l′和圓C相切，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出CP，利用勾股定理求切線的長；
（2）求出圓C關(guān)于直線l₀對(duì)稱的圓的方程，利用圓C關(guān)于直線l₀對(duì)稱的圓與直線l相切，即可求l的方程．

解答 解：（1）已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-2）²+（y-2）²=1，圓心坐標(biāo)為C（2，2），半徑為1，
∴CP=$\sqrt{（2+3）^{2}+（2-3）^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∴切線的長=$\sqrt{C{P}^{2}-{1}^{2}}$=5；
（2）由題意，圓C關(guān)于直線l₀對(duì)稱的圓與直線l相切，
設(shè)（2，2）關(guān)于直線l₀對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+2}{2}-\frac{b+2}{2}+2=0}\\{\frac{b-2}{a-2}=-1}\end{array}\right.$，
∴a=0，b=4，
∴圓C關(guān)于直線l₀對(duì)稱的圓的方程是x²+（y-4）²=1，
設(shè)直線l的方程為y-3=k（x+3），即kx-y+3k+3=0，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|-4+3k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴k=0或$\frac{3}{4}$，
∴l(xiāng)的方程為y-3=0或3x-4y+21=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．