Question

2．已知函數(shù)f（x）=a•4^x-2^x+1-a
（1）若a=0，解方程f（2x）=-$\frac{1}{32}$；
（2）若方程a•4^x-2^x+1-a=0在[1，2]上有根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=0，求出函數(shù)f（x）的解析式，解方程f（2x）=-$\frac{1}{32}$即可；
（2）若方程a•4^x-2^x+1-a=0在[1，2]上有根，利用參數(shù)分離法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若a=0，則f（x）=-2^x+1，
則f（2x）=-2^2x+1，
由f（2x）=-$\frac{1}{32}$；
得-2^2x+1=-$\frac{1}{32}$；
即2^2x+1=$\frac{1}{32}$=2^-5；
即2x+1=-5，得2x=-6．
解得x=-3，即方程的根為x=-3．
（2）若方程a•4^x-2^x+1-a=0在[1，2]上有根，
則a（4^x-1）=2^x+1，
∵1≤x≤2，∴3≤4^x-1≤15，
則a=$\frac{{2}^{x+1}}{{4}^{x}-1}$=$\frac{2}{{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}}$，
設(shè)y=$\frac{2}{{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}}$，則函數(shù)在1≤x≤2上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值此時(shí)y=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值此時(shí)y=$\frac{8}{15}$，
即$\frac{8}{15}$≤y≤$\frac{4}{3}$，
則若a=$\frac{{2}^{x+1}}{{4}^{x}-1}$有解，
則$\frac{8}{15}$≤a≤$\frac{4}{3}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{8}{15}$，$\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合指數(shù)方程以及指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．