Question

7．若三條側(cè)棱兩兩垂直且長(zhǎng)都為a的三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)全部在同一個(gè)球面上，則該球的體積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$πa³．

Answer 1

分析 利用三棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直，構(gòu)造邊長(zhǎng)為a的正方體，則正方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑即可求出球的體積．

解答 解：∵三棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直，
∴構(gòu)造邊長(zhǎng)為a的正方體，
則正方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，
設(shè)球半徑為r，
則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{3}$a=2r，
即三棱錐外接球的半徑r=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
∴三棱錐外接球的體積為$\frac{4}{3}$πr³=$\frac{\sqrt{3}}{2}$πa³．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$πa³．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查球的體積公式的計(jì)算，根據(jù)正三棱錐的側(cè)棱關(guān)系構(gòu)造正方體，根據(jù)正方體的體對(duì)角線和球直徑之間的關(guān)系求出球半徑是解決本題的關(guān)鍵．