Question

已知5cos²α+4cos²β=4cosα，則cos²α+cos²β的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：記x=cosα，則 cos²β=≥0，解得0≤x≤，把要求的式子化為  （x-2）²+1，故x=時(shí)，cos²α+cos²β取最大值；x=0時(shí)，cos²α+cos²β取最小值，從而得到
cos²α+cos²β 的取值范圍．
解答：解：記x=cosα，則 cos²β=≥0，解得0≤x≤ （而不是0≤x≤1，此步非常關(guān)鍵，大部分同學(xué)都會(huì)在此處疏漏，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤）．
∴cos²α+cos²β=x² ==（x-2）²+1，由單調(diào)性可知，
x=時(shí)，cos²α+cos²β取得最大值為；x=0時(shí)，cos²α+cos²β取得最小值為0，即cos²α+cos²β 的取值范圍是[0，]．
故答案為：[0，]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的最值的求法，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，屬于中檔題．