Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+2的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f′（x）為奇函數(shù)，則有（　�。�

A．

a≠0，c=0

B．

b=0

C．

a=0，c≠0

D．

a2+c2=0

Answer 1

考點：

導(dǎo)數(shù)的運算；函數(shù)奇偶性的判斷．

專題：

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．

分析：

先求導(dǎo)數(shù)f′（x），由f′（x）為奇函數(shù)可知f'（x）=﹣f'（﹣x），故3ax²+c恒成立恒成立，所以a=c=0，由此得出答案．

解答：

解：函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+2的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx+c，

∵函數(shù)f′（x）=3ax²+2bx+c是定義在R上的奇函數(shù)，

∴f'（x）=﹣f'（﹣x），即3ax²+2bx+c=﹣3ax²+2bx﹣+c，

∴3ax²+c恒成立，a=c=0．即a²+c²=0．

故選D．

點評：

本題考查導(dǎo)數(shù)的運算、函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)的解析式的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．