Question

如圖，A，B，C，D為空間四點(diǎn)．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝．等邊三角形ABD以AB為軸運(yùn)動(dòng)．

(1)當(dāng)平面ABD⊥平面ABC時(shí)，求CD的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)△ABD轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有AB⊥CD？并證明此結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)取AB的中點(diǎn)E，連接CE，DE． 　　因?yàn)椤鰽BD是等邊三角形， 　　所以DE⊥AB． 　　當(dāng)平面ABD⊥平面ABC時(shí)， 　　平面ABD∩平面ABC＝AB， 　　DE平面ABD， 　　所以DE⊥平面ABC． 　　而CE平面ABC， 　　所以DE⊥CE． 　　由已知，可得DE＝，CE＝1． 　　在Rt△CDE中，CD＝＝2． 　　(2)當(dāng)△ABD以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總有AB⊥CD．證明如下： 　　①當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時(shí)， 　　因?yàn)锳C＝BC，AD＝BD， 　　所以C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD． 　�、诋�(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時(shí)， 　　因?yàn)锳C＝BC， 　　所以AB⊥CE． 　　又由(1)知AB⊥DE，DE∩CE＝E， 　　所以AB⊥平面CDE． 　　而CD平面CDE， 　　所以AB⊥CD． 　　綜上可知，總有AB⊥CD． 　　尋線歷程：已知平面α⊥β，且α∩β＝a，一般先在平面α(或β)內(nèi)尋找或作一條直線m垂直于交線a，然后運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理可得m⊥β(或m⊥α)．即從條件出發(fā)，步步為營(yíng)，即可證得結(jié)論． 　　綜觀上述問(wèn)題，為架起已知和未知的橋梁，可采取步步為營(yíng)的戰(zhàn)術(shù)，即從題目的條件入手，正向分析已有的垂直關(guān)系；而當(dāng)從條件難以找到突破口時(shí)，可采取迂回戰(zhàn)術(shù)，即轉(zhuǎn)化為從結(jié)論入手逆向分析所要證明的垂直關(guān)系；或者將結(jié)論與條件兩方面“對(duì)接”，從而找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵．