Question

12．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為 4的菱形，PD=PB=4，∠BAD=60°，E為PA中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PC∥平面EBD；
（Ⅱ）求證：平面EBD⊥平面PAC；
（Ⅲ）若PA=PC，求三棱錐C-ABE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)EO，證明EO∥PC．即可證明PC∥平面EBD．
（Ⅱ）連結(jié)PO，證明PO⊥BD．AC⊥BD．即可證明BD⊥平面PAC．然后說(shuō)明平面EBD⊥平面PAC．
（Ⅲ）利用V_C-ABE=V_E-ABC，求解即可．

解答 （本小題14分）
解（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)EO，
∵E為PA中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)，
∴EO∥PC．
又∵EO?平面EBD，PC?平面EBD，
∴PC∥平面EBD．        …（5分）
（Ⅱ）連結(jié)PO，
∵PD=PB，O為BD中點(diǎn)，
∴PO⊥BD．
又∵底面ABCD為菱形，
∴AC⊥BD．
∵PO∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC．
又∵BD?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面PAC．…（10分）
（Ⅲ）V_C-ABE=V_E-ABC…（12分）
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AC×OB×\frac{PO}{2}$=$\frac{1}{6}×4\sqrt{3}×2×\sqrt{3}=4$． …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行與垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．