Question

已知函數y=log_a（1-a^x）　（a＞0且a≠1）
（1）求函數的定義域和值域；
（2）證明函數的圖象關于直線y=x對稱．

Answer 1

解：（1）要使函數y=log_a（1-a^x）有意義，則1-a^x＞0，即a^x＜1．
∴當0＜a＜1時，求得x＞0，此時，0＜1-a^x＜1，∴y=log_a（1-a^x）＞0，故函數的定義域為（0，+∞），值域為（0，+∞）．
當a＞1時，求得x＜0，此時，0＜1-a^x＜1，∴y=log_a（1-a^x）＜0，故函數的定義域為（-∞，0），值域為（-∞，0）．
（2）由y=log_a（1-a^x）可得1-a^x=a^y，解得 x=log_a（1-a^y），故原函數的反函數為y=log_a（1-a^x）與原函數相同，
所以函數的圖象關于直線y=x對稱．
分析：（1）要使函數y=log_a（1-a^x）有意義，則1-a^x＞0，即a^x＜1．當0＜a＜1和當a＞1兩種情況，分別求得x、y的范圍，即可得到函數的定義域和值域．
（2）先求得原函數的反函數為y=log_a（1-a^x），與原函數相同，即可證得函數的圖象關于直線y=x對．
點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質的綜合應用，函數與反函數圖象間的關系，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．