Question

6．已知邊長為$2\sqrt{3}$的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿對角線BD折成二面角A-BD-C為120°的四面體ABCD，則四面體的外接球的表面積為（　�。�

• A． 25π
• B． 26π
• C． 27π
• D． 28π

Answer 1

分析 正確作出圖形，利用勾股定理建立方程，求出四面體的外接球的半徑，即可求出四面體的外接球的表面積．

解答 解：如圖所示，∠AFC=120°，∠AFE=60°，AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}$=3，
∴AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，EF=$\frac{3}{2}$
設OO′=x，則
∵O′B=2，O′F=1，
∴由勾股定理可得R²=x²+4=（$\frac{3}{2}$+1）²+（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-x）²，
∴R²=7，
∴四面體的外接球的表面積為4πR²=28π，
故選：D．

點評 本題考查四面體的外接球的表面積，考查學生的計算能力，正確求出四面體的外接球的半徑是關鍵．