Question

（2011•寧波模擬）已知函數(shù)f（x）=x³+6x²+15|x|
（1）求f（x）在x=1處的切線方程．
（2）求f（x）在[-1，a]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）先去絕對值，然后求出切點坐標，求在x=1處的導數(shù)值得到切線的斜率，最后根據(jù)點斜式直線方程可求出所求；
（2）先將函數(shù)寫出分段函數(shù)，然后求出導函數(shù)，令f'（x）=0得x=-5，-5與0將區(qū)間分成三段，研究導數(shù)符號，得到函數(shù)的單調性，從而求出函數(shù)在[-1，a]上的最小值．

解答：解：（1）x＞0時，f（x）=x³+6x²+15x，f（1）=22
∴f'（x）=3x²+12x+15，f'（1）=30
∴f（x）在x=1處的切線方程為y=30（x-1）+22即y=30x-8．（ 7分）
（2）f（x）=

x3+6x2+15x   x≥0 x3+6x2-15x    x＜0

，f'（x）=

3x2+12x+15   x≥0 3x2+12x-15    x＜0

令f'（x）=0，x=-5，函數(shù)單調性變化情況如下表

x	（-∞，-5）	-5	（-5，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

由表知當-1＜a≤0，f（x）_min=f（a）=a³+6a²+15a；
當a＞0，f（x）_min=f（0）=0．                （ 15分）

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，同時考查了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．