Question

已知函數(shù)g（x）=

1

2

（x+

2

x

）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）求出定義域；求出g（-x），判斷g（-x），g（x）的關(guān)系；利用奇函數(shù)的定義判斷出g（x）為奇函數(shù)．
（II）求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的根，判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，求出函數(shù)的最值．

解答：解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)閤≠0
g（-x）=

1

2

(-x-

2

x

)=-

1

2

(x+

2

x

)=-g(x)
所以g（x）是奇函數(shù)
（II）g′(x)=

1

2

x2-2

x2

令g′（x）=0得x=

2

x∈(1，

2

)時(shí)，g′(x)＜0；x∈(

2

，4)時(shí)，g′（x）＞0
∴x=

2

時(shí)，函數(shù)有最小值

2

當(dāng)x=1時(shí)，g（1）=

3

2

；x=4時(shí)，g（4）=

9

4

＞

3

2

∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值為

9

4

和最小值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查判斷函數(shù)奇偶性的步驟、考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值．