Question

點(diǎn)P為直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A（0，0），B（3，0），則∠APB的最大值為________．

Answer 1

分析：設(shè)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓為圓M，且圓M直線相切于點(diǎn)P₀，根據(jù)平面幾何知識可得：當(dāng)動點(diǎn)P與點(diǎn)P₀重合時(shí)，∠APB的最大．然后設(shè)出圓M方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用點(diǎn)A（0，0）和B（3，0）在圓M上，解出D=-3且F=0，再利用圓心到直線的距離等于半徑解出E的值，從而得到圓M的方程．最后聯(lián)解直線與圓M的方程，得到切點(diǎn)P₀坐標(biāo)為（0，），在Rt△P₀AB中利用正切定義求出最大角為．
解答：如圖，作出經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓M，且圓M直線相切于點(diǎn)P₀，
動在直線上運(yùn)動，則點(diǎn)P與點(diǎn)P₀重合時(shí)，∠APB的最大．
證明如下：當(dāng)點(diǎn)P位于圓M外時(shí)，設(shè)PB交圓M于點(diǎn)C，
連接AC，則∠AP₀B=∠ACB＞∠APB，所以∠AP₀B是∠APB的最大值．
設(shè)圓M方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，據(jù)題意得：
?D=-3且F=0
∴圓M方程為：x²+y²-3x+Ey=0，圓心M（，-），半徑為
∵圓M直線相切，即與直線相切，
∴?E=-，
所以，圓M方程為：x²+y²-3x-y=0，再由
聯(lián)解，得，所以點(diǎn)P₀坐標(biāo)為（0，）．
此時(shí)，在Rt△P₀AB中有tan∠AP₀B==
∴∠AP₀B=，即∠APB的最大值為
故答案為：
點(diǎn)評：本題借助于一個(gè)動點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的張角的最大值的問題為載體，著重考查了直線與圓的位置關(guān)系和三角函數(shù)的基本概念等知識點(diǎn)，屬于中檔題．