Question

已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2a，焦點(diǎn)是F₁(，0)、F₂(，0)，點(diǎn)F₁到直線x=的距離為，過(guò)點(diǎn)F₂且傾斜角為銳角的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得|F₂B|=3|F₂A|.

(1)求橢圓的方程；

(2)求直線l的方程.

Answer 1

思路分析：本題考查橢圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用.已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及焦點(diǎn)到某條直線的距離，我們可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；再根據(jù)橢圓的相關(guān)定義及標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得所要的直線方程.

解：(1)∵F₁到直線x=的距離為，∴,

∴a²=4，而c=，∴b²=a²-c²=1，

∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴所求橢圓的方程為+y²=1.

(2)設(shè)A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，

∵|F₂B|=3|F₂A|，∴

∵A、B在橢圓+y²=1上，

∴

∴l(xiāng)的斜率為=，∴l(xiāng)的方程為y=(x-)，即x-y-=0.