Question

如圖,已知四棱錐P—ABCD的底面ABCD為等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC與BD相交于點(diǎn)O,且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn).又BO=2,PO=,PB⊥PD.

(1)求異面直線PD與BC所成角的余弦值;

(2)求二面角P-AB-C的大小;

(3)設(shè)點(diǎn)M在棱PC上,且=λ,問(wèn)λ為何值時(shí),PC⊥平面BMD?

Answer 1

解法一:∵PO⊥平面ABCD,∴PO⊥BD.

又PB⊥PD,BO=2,PO=,

由平面幾何知識(shí)得OD=1,PD=,PB=.

(1)過(guò)D作DE∥BC交AB于E.

連結(jié)PE,則∠PDE或其補(bǔ)角為異面直線PD與BC所成的角.

∵四邊形ABCD是等腰梯形,

∴OC=OD=1,OB=OA=2,OA⊥OB.

∴BC=,AB=2,CD=.

又AB∥DC,

∴四邊形EBCD是平行四邊形.

∴ED=BC=,BE=CD=.

∴E是AB的中點(diǎn),且AE=.

又PA=PB=,∴△PEA為直角三角形.

∴PE==2.

在△PED中,由余弦定理得

cos∠PDE=.

故異面直線PD與BC所成的角的余弦值為.

(2)連結(jié)OE,由(1)及三垂線定理,知∠PEO為二面角P-AB-C的平面角.

∴sin∠PEO=.∴∠PEO=45°.

∴二面角P-AB-C的大小為45°.

(3)連結(jié)MD、MB、MO,

∵PC⊥平面BMD,OM平面BMD,∴PC⊥OM.

又在Rt△POC中,

PC=PD=,OC=1,PO=,

∴PM=,MC=.∴2.

故λ=2時(shí),PC⊥平面BMD.

解法二:∵PO⊥平面ABCD,∴PO⊥BD.

又PB⊥PD,BO=2,PO=,

由平面幾何知識(shí)得OD=OC=1,BO=AO=2.

以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為O（0,0，0），A（2,0，0），B（0,2，0）,C(-1,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,).

(1)∵=(0,-1,),=(-1,-2,0),

∴｜｜=，｜｜=，·=2.

∴cos〈,〉=.

故直線PD與BC所成的角的余弦值為.

(2)設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

由于=（-2,2，0），=(-2,0,),

由得

取n=(1,1,),

又易知平面ABCD的一個(gè)法向量m=(0,0,1),

∴cos〈m,n〉=.

又二面角P-AB-C為銳角,

∴所求二面角P-AB-C的大小為45°.

(3)設(shè)M(x₀,0,z₀),由于P、M、C三點(diǎn)共線,

z₀=，                                                            ①

∵PC⊥平面BMD,∴OM⊥PC.

∴(-1,0,)·(x₀,0,z₀)=0.

∴x₀+z₀=0.                                                               ②

由①②知x₀=,z₀=.

∴M(,0,).∴λ==2.

故λ=2時(shí),PC⊥平面BMD.