Question

【題目】已知拋物線：上橫坐標(biāo)為4的點到焦點的距離為5.

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)直線與拋物線交于兩點、，且，是弦中點，過作平行于軸的直線交拋物線于點，得到，再分別過弦、的中點作平行于軸的直線依次交拋物線于點、，得到和，按此方法繼續(xù)下去，解決下列問題：

①求證：；

②計算的面積；

③根據(jù)的面積的計算結(jié)果，寫出、的面積，請設(shè)計一種求拋物線與線段所圍成封閉圖形面積的方法，并求此封閉圖形的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析； ②；③，無窮等比數(shù)列各項和..

【解析】

（1）由拋物線的定義、結(jié)合已知可以直接求出的值，進而可以求出拋物線的方程；

（2）①：直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、結(jié)合

，可以證明出；

②：利用中點坐標(biāo)公式和三角形面積公式直接求解即可；

③：同②可知：只與有關(guān)，于是可知，分別與、有關(guān)，這樣可以求出它們的面積；這樣無限操作下去，每次得到的三角形面積都相等，面積是一個等比數(shù)列，每次得到的三角形的個數(shù)也是等比數(shù)列，利用無窮等比數(shù)列前項和公式，這樣可以求出拋物線與線段所圍成封閉圖形面積.

（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為：，由拋物線的定義可知：，所以拋物線的方程為：；

（2）①：聯(lián)立直線和拋物線方程得：，

∴，；

∴；

②：由中點坐標(biāo)公式可得：，∴，，，；

③：由同②可知：只與有關(guān)，而，

所以，這樣無限操作下去，第次操作，得到個小三角形，每個三角形的面積為：，這無窮多個三角形的面積之和就是拋物線與線段所圍成封閉圖形面積，所以有

所求的面積為.