Question

12．已知f（x）=lnx-ax，（a∈R），g（x）=-x²+2x+1．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意的x₁∈[1，e]，總存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$f'（x）=\frac{1}{x}-a$（x＞0）然后通過當a≤0時，當a＞0時，判斷導函數(shù)的符號求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（Ⅱ）設(shè)在區(qū)間[1，e]上f（x）的值域為A，在[0，3]上g（x）的值域為B，推出A⊆B，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求和兩個函數(shù)的最值，通過①當a≤0時，②當a≥1時，③當$0＜a≤\frac{1}{e}$時，④當$\frac{1}{e}＜a＜1$時，分別求解函數(shù)的最值，結(jié)合A⊆B，求解實數(shù)a的取值范圍．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-a$（x＞0）
∴當a≤0時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），沒有單調(diào)遞減區(qū)間；…（2分）
當a＞0時，$x∈（0，\frac{1}{a}）$時f'（x）＞0，$x∈（\frac{1}{a}，+∞）$時f'（x）＜0，
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為$（0，\frac{1}{a}）$，單調(diào)遞減區(qū)間為$（\frac{1}{a}，+∞）$．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)在區(qū)間[1，e]上f（x）的值域為A，在[0，3]上g（x）的值域為B，
則依題意A⊆B…（5分）
易知g（x）在[0，1]上遞增，在[1，3]上遞減，g（x）_max=g（1）=2，g（x）_min=-2
∴B=[-2，2]…（6分）
①當a≤0時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，f（1）=-a，f（e）=1-ae，A=[-a，1-ae]
∴$\left\{\begin{array}{l}-a≥-2\\ 1-ae≤2\end{array}\right.$，得$-\frac{1}{e}≤a≤2$，∴$-\frac{1}{e}≤a≤0$
②當a≥1時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，A=[1-ae，-a]，$\left\{\begin{array}{l}1-ae≥-2\\-a≤2\end{array}\right.$得$-2≤a≤\frac{3}{e}$，
∴$1≤a≤\frac{3}{e}$
③當$0＜a≤\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，可得$0＜a≤\frac{1}{e}$
④當$\frac{1}{e}＜a＜1$時，f（x）在[1，e]上f（x）_max=-lna-1≤2f（1）=-a≥-2，f（e）=1-ae≥-2，這時A⊆B．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為$[-\frac{1}{e}，\frac{3}{e}]$…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．