Question

7．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時，f（x）=2015^x+log₂₀₁₅x，則在R上，函數(shù)f（x）零點的個數(shù)為3．

Answer 1

分析 令2015^x+log₂₀₁₅x=0，利用函數(shù)圖象的交點個數(shù)判斷f（x）在（0，+∞）上的零點個數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）在（-∞，0）上的零點個數(shù)，結(jié)合f（0）=0得出答案．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即x=0為f（x）的一個零點．
當(dāng)x＞0時，令f（x）=2015^x+log₂₀₁₅x=0，則2015^x=-log₂₀₁₅x=log${\;}_{\frac{1}{2015}}$x，
做出y=2015^x和y=log${\;}_{\frac{1}{2015}}$x的函數(shù)圖象，

由圖象可得2015^x=log${\;}_{\frac{1}{2015}}$x有一解，即f（x）在（0，+∞）上有一個零點，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0）上有一解．
綜上，f（x）在R上共有3個零點．
故答案為：3．

點評 本題考查了函數(shù)的零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．