Question

定義在R上的可導函數f（x），若x≠1時，（x-1）f′（x）＜0恒成立（其中f′（x）是f（x）的導函數），則下列各項中一定正確的是（　　）

• A、f（0）+f（2）＞2 f（1）
• B、f（0）+f（2）=2f（1）
• C、f（0）+f（2）＜2 f（1）
• D、不能確定

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：由x≠1時，（x-1）f′（x）＜0恒成立，可得函數在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，即可得出結論．

解答： 解：∵x≠1時，（x-1）f′（x）＜0恒成立
∴函數在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
∴f（1）＞f（0），f（1）＞f（2），
∴f（0）+f（2）＜2 f（1），
故選：C．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，確定函數在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減是關鍵．