Question

已知函數(shù)
（1）當時，求f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）若當x＞0時，f（x）＞1恒成立，求a的取值范圍；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導數(shù)，利用導數(shù)小于0，即可求f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）由得a＞（x+2）-（x+2）ln（x+1），記g（x）=（x+2）[1-ln（x+1）]，確定函數(shù)的最值，即可求a的取值范圍；
（3）先證明，取，即可證得結論．
解答：（1）解：當時，（x＞-1）
令f′（x）＜0，可得，∴f（x）的單調遞減區(qū)間為…（4分）
（2）解：由得a＞（x+2）-（x+2）ln（x+1）
記g（x）=（x+2）[1-ln（x+1）]，則
當x＞0時 g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）遞減
又g（0）=2•[1-ln1]=2，∴g（x）＜2（x＞0），∴a≥2…（8分）
（3）證明：由（Ⅱ）知 （x＞0）
∴
取得，即
∴…（12分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查不等式的證明，屬于中檔題．