Question

（2011•渭南三模）已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=5，S₁₅=225．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）設(shè)bn=

3

2

×2an+

1

n(n+1)

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n..

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和等差，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式把已知條件a₃=5，S₁₅=225化簡(jiǎn)，得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的兩個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立兩個(gè)關(guān)系式即可求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)首項(xiàng)和公差寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（Ⅱ）現(xiàn)對(duì){b_n}的通項(xiàng)變形可得，b_n=

3

2

×2^2n-1+（

1

n

-

1

n+1

），用分組求和法，可得T_n=

3

2

×（2¹+2³+2⁵+…+2^2n-1）+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

），前一部分用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算，后一部分用錯(cuò)位相減法，計(jì)算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公差為d，
由題意，得

a1+2d=5 15a1+ 15×14 2 d=225

，
解得

a1=1 d=2

，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）bn=

3

2

×2an+

1

n(n+1)

=

3

2

×2^2n-1+（

1

n

-

1

n+1

），
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

3

2

×（2¹+2³+2⁵+…+2^2n-1）+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=

3

2

（

2(1-2n)

1-2

）+（1-

1

n+1

）=3×2ⁿ-2，

點(diǎn)評(píng)：此題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用分組求和法求T_n的值．